Bonsoir,
En complément du cour de ce matin, il est facile de vérifier (je me suis emmêlé les pinceaux là-dessus) qu’après avoir fixé la ligne et la colonne de e, selon que dans la colonne de a⋅a on choisisse b ou c, alors les deux seules tables possibles sont les suivantes.
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& e & a & b & c\\
\hline
e & e & a & b & c \\
\hline
a & a & b & c & e \\
\hline
b & b & c & e & a \\
\hline
c & c & e & a & b \\
\hline
\end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& e & a & b & c\\
\hline
e & e & a & b & c \\
\hline
a & a & c & e & b \\
\hline
b & b & e & c & a \\
\hline
c & c & b & a & e \\
\hline
\end{array} $$
Il s’avère qu’elles représentent en fait la même structure de groupe : vérifiez que de l’une on tombe sur l’autre si on décide d’échanger les noms de b et c. C’est le défaut de cette manière de représenter les groupes : des tables différentes peuvent donner la même structure de groupe par simple permutation des lettres, et ça ne saute pas aux yeux.
En revanche, l’autre que je vous ai donnée en cours, à savoir celle où l’on fait le choix a⋅a = e,
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& e & a & b & c\\
\hline
e & e & a & b & c \\
\hline
a & a & e & c & b \\
\hline
b & b & c & e & a \\
\hline
c & c & b & a & e \\
\hline
\end{array} $$
représente une structure de groupe vraiment différente, au sens où aucune manière de permuter a, b, c ne permet de retomber sur la précédente.
Pour info :
- on peut trouver la première de ces structures de groupe à 4 éléments « dans la nature » par exemple avec le groupe {1, i, -1, -i} muni de la multiplication des complexes.
- pour la deuxième il faut chercher un peu plus loin pour la trouver « dans la nature » mais on la verra vendredi.