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Surjections

Un exemple où \(g\circ f\) est surjective mais \(f\) ne l’est pas (à ajouter dans le cours à la place de celui qu’on a rayé). Soit

\(f\colon \left\{ 1 \right\} \to \mathbb R,\ 1 \mapsto 1, \qquad g\colon \mathbb R \to \left\{ 0 \right\},\ x\mapsto 0\)

On a \(g\circ f \colon \left\{ 1 \right\} \to \left\{ 0 \right\}, 1\mapsto 0\) est surjective mais \(f\) n’est pas surjective puisque \(\mathrm{Im}(f) = \left\{ 1 \right\} \neq \mathbb R\).

PS : les deux items « composition d’injections » et « composition de surjections » dans le programme de colle se réfèrent à la propriété de cours « si f et g sont injectives (surjectives) alors gof l’est aussi » mais aussi, en plus, aux petits exercices sur la réciproque partielle, et ces contre-exemples.

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